Question

设数列{a_n}为等差数列，其公差为d，数列{b_n}为等比数列，若a₁＜a₂，b₁＜b₂，且b₁=a_i²（i=1，2，3），则

a1

d

 

．

Answer 1

考点：等差数列的性质

专题：等差数列与等比数列

分析：设等差数列{a_n}的公差为d，可得d＞0，由数列{b_n}为等比数列，可得b₂²=b₁•b₃，代入化简可得a₁和d的关系，分类讨论可得b₁和b₂，可得结论．

解答： 解：设等差数列{a_n}的公差为d，
由a₁＜a₂可得d＞0，
∴b₁=a₁²，b₂=a₂²=（a₁+d）²，b₃=a₃²=（a₁+2d）²，
∵数列{b_n}为等比数列，
∴b₂²=b₁•b₃，
即（a₁+d）⁴=a₁²•（a₁+2d）²，
∴（a₁+d）²=a₁•（a₁+2d）  ①
或（a₁+d）²=-a₁•（a₁+2d），②
由①可得d=0与d＞0矛盾，应舍去；
由②可得a₁=

-2- 2

2

d，或a₁=

2

2

-1d，
当a₁=

-2- 2

2

d时，可得b₁=a₁²=

3+2 2

2

d2
b₂=a₂²=（a₁+d）²=

1

2

d2，此时显然与b₁＜b₂矛盾，舍去；
当a₁=

2

2

-1d时，可得b₁=a₁²=

3-2 2

2

d2，b₂=（a₁+d）²=

1

2

d2，满足题意，
∴

a1

d

=

2

2

-1，
故答案为：

2

2

-1．

点评：本题考查等差数列与等比数列的性质，涉及分类讨论的思想，属中档题．