Question

已知函数f（x）=sinx+

3

cosx则下列命题正确的是

 

  （写出所有正确命题的编号）
①f（x）的最大值为2．；
②f（x）的图象关于点（-

π

6

，0）对称；
③f（x）在区间（-

5π

6

，

π

6

）上单调递增；
④若实数m使得方程f（x）=m在[0，2π]上恰好有三个实数解x₁，x₂，x₃，则x₁+x₂+x₃=

7π

3

；
⑤f（x）的图象与g（x）=sin（x-

2π

3

）的图象关于x轴对称．

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：综合题,推理和证明

分析：先利用两角和公式对函数解析式化简，画出函数y=2sin（x+

π

3

）的图象，再对四个命题分别进行判断，即可得出结论．

解答： 解：sinx+

3

cosx=2（

1

2

sinx+

3

2

cosx）=2sin（x+

π

3

），
①f（x）的最大值为2，正确；
②∵f（-

π

3

）=0，∴f（x）的图象关于点（-

π

3

，0）对称，故错误；
③由-

π

2

≤x+

π

3

≤

π

2

，可得-

5π

6

≤x≤

π

6

，可得f（x）在区间（-

5π

6

，

π

6

）上单调递增，正确；
④如图方程的解即为直线与三角函数图象的交点，在[0，2π]上，当m=

3

时，直线与三角函数图象恰有三个交点，
令sin（x+

π

3

）=

3

2

，x+

π

3

=2kπ+

π

3

，即x=2kπ，或x+

π

3

=2kπ+

2π

3

，即x=2kπ+

π

3

，
∴此时x₁=0，x₂=

π

3

，x₃=2π，
∴x₁+x₂+x₃=0+

π

3

+2π=

7π

3

，故正确．
⑤f（x）=2sin（x+

π

3

），-f（x）=-2sin（x+

π

3

）=2sin（x-

2π

3

），故⑤不正确．
故答案为：①③④．

点评：本题主要考查命题的真假判断，考查了三角函数图象与性质．运用了数形结合的思想，较为直观的解决问题．