Question

记曲线f_n（x）=

n

x

(n∈N*)图象上任一点处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为a_n．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）若数列{

1

an

}的前n项和为T_n，求证：

T2

2

+

T3

3

+…+

Tn

n

＜

T

2 n

＜

T1

2

+

T2

3

+…+

Tn-1

n

+

1

2

（其中n∈N^*且n≥2）

Answer 1

考点：数列的求和,数列与函数的综合

专题：等差数列与等比数列

分析：（I）利用导数的几何意义：设切点(x0，

n

x0

)，切线方程为：y-

n

x0

=-

n

x 2 0

(x-x0)，分别令x=0，y=0，可得S=

1

2

•|

2n

x0

|•|2x0|=2n，即可得出a_n．
（II）先证明：

T

2 n

＜

T1

2

+

T2

3

+…+

Tn-1

n

+

1

2

．由

T

2 n

=(Tn-1+

1

2n

)2，可得

T

2 n

-

T

2 n-1

=

Tn-1

n

+

1

4n2

，n≥2时，

T

2 n

-

T

2 n-1

≤

Tn-1

n

+

1

4n(n-1)

，利用“累加求和”即可得出．再证明：

T2

2

+

T3

3

+…+

Tn

n

＜

T

2 n

．当n≥2，由Tn=Tn-1+

1

2n

，得到

T

2 n

-

T

2 n-1

=

Tn-1

n

+

1

4n2

，且

Tn

n

=

Tn-1

n

+

1

2n2

，可得

Tn

n

=

T

2 n

-

T

2 n-1

+

1

4n2

，利用“累加求和”及（1）证明可知：(

1

22

+

1

32

+…+

1

n2

)＜1-

1

n

＜1，即可得出．

解答： （I）解：∵曲线f_n（x）=

n

x

(n∈N*)，
∴

f

′ n

(x)=-

n

x2

，
设切点(x0，

n

x0

)，切线方程为：y-

n

x0

=-

n

x 2 0

(x-x0)，
令x=0，得到y=

2n

x0

，令y=0，得到x=2x₀．
∴S=

1

2

•|

2n

x0

|•|2x0|=2n，
∴a_n=2n．
（II）证明：先证明：

T

2 n

＜

T1

2

+

T2

3

+…+

Tn-1

n

+

1

2

．
∵

T

2 n

=(Tn-1+

1

2n

)2，
∴

T

2 n

-

T

2 n-1

=

Tn-1

n

+

1

4n2

，
∴n≥2时，

T

2 n

-

T

2 n-1

≤

Tn-1

n

+

1

4n(n-1)

，
∴

T

2 n

-

T

2 1

＜

T1

2

+

T2

3

+…

Tn-1

n

+

1

4

[(1-

1

2

)+(

1

2

-

1

3

)+…+(

1

n-1

-

1

n

)]，
∴

T

2 n

＜

T1

2

+

T2

3

+…

Tn-1

n

+

1

2

-

1

4n

＜

T1

2

+

T2

3

+…

Tn-1

n

+

1

2

．
再证明：

T2

2

+

T3

3

+…+

Tn

n

＜

T

2 n

．
∵n≥2，由Tn=Tn-1+

1

2n

，得到

T

2 n

-

T

2 n-1

=

Tn-1

n

+

1

4n2

，且

Tn

n

=

Tn-1

n

+

1

2n2

，
∴

Tn

n

=

T

2 n

-

T

2 n-1

-

1

4n2

+

1

2n2

=

T

2 n

-

T

2 n-1

+

1

4n2

，
∴

T2

2

+

T3

3

+…+

Tn

n

=

T

2 n

-

T

2 1

+

1

4

(

1

22

+

1

32

+…+

1

n2

)=

T

2 n

+

1

4

(-1+

1

22

+

1

32

+…+

1

n2

)，
由（1）证明可知：(

1

22

+

1

32

+…+

1

n2

)＜1-

1

n

＜1．
∴当n∈N^*，n≥2时，

T2

2

+

T3

3

+…+

Tn

n

＜

T

2 n

+

1

4

(-1+1)=

T

2 n

．
综上可得：当n∈N^*且n≥2时：

T2

2

+

T3

3

+…+

Tn

n

＜

T

2 n

＜

T1

2

+

T2

3

+…+

Tn-1

n

+

1

2

．

点评：本题考查了递推式的应用、“累加求和”、不等式的性质、“裂项求和”、导数的几何意义、切线的方程，考查了分析问题解决问题的能力，考查了推理能力与计算能力，属于难题．