Question

函数f（x）=|sinx|+2|cosx|的值域为（　　）

• A、[1，2]
• B、[

  5

  ，3]
• C、[2，

  5

  ]
• D、[1，

  5

  ]

Answer 1

考点：三角函数值的符号,函数的值域

专题：三角函数的图像与性质

分析：先将函数y=|sinx|+2|cosx|的值域?当x∈[0，

π

2

]时，y=sinx+2cosx的值域，利用两角和与差的正弦函数化简，由正弦函数的性质求出函数的值域．

解答： 解：∵函数y=|sinx|+2|cosx|的值域?当x∈[0，

π

2

]时，y=sinx+2cosx的值域，
∴y=sinx+2cosx=

5

sin(x+θ)（其中θ是锐角，sinθ=

2 5

5

、cosθ=

5

5

），
由x∈[0，

π

2

]得，x+θ∈[θ，

π

2

+θ]，
所以cosθ≤sin（x+θ）≤1，即

5

5

≤sin（x+θ）≤1，
所以1≤

5

sin(x+θ)≤

5

，
则函数y=|sinx|+2|cosx|的值域是[1，

5

]，
故选：D．

点评：本题考查两角和与差的正弦函数，正弦函数的性质，将函数y=|sinx|+2|cosx|的值域?当x∈[0，

π

2

]时，y=sinx+2cosx的值域，是解题的关键，考查等价转化思想与运算求解能力，属于中档题．