Question

在△ABC中，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边，如果方程x²-bcosAx+acosB=0的两根之积等于两根之和，则三角形的形状为

 

．

Answer 1

考点：余弦定理,正弦定理

专题：解三角形

分析：根据韦达定理可得bcosB=acosA，再根据正弦定理与二倍角的正弦可得：sin2B=sin2A，从而可判断该三角形的形状．

解答： 解：∵方程x²-bcosAx+acosB=0的两根之积等于两根之和，
∴bcosA=acosB，
又∵a、b为△ABC的两边，A、B为两内角，
∴由正弦定理得：sinBcosB=sinAcosA，即sin2B=sin2A，
∵sin（π-2A）=sin2A，
∴2B=2A或2B=π-2A，
解得：A=B，或A+B=

π

2

，
∴△ABC为等腰三角形或直角三角形，
故答案为：等腰三角形或直角三角形．

点评：本题考查余弦定理、正弦定理，正弦定理与二倍角的正弦、诱导公式的应用，属于中档题．