Question

已知圆M：x²+y²+8x+2y+1=0上存在A，B两点关于直线l：ax+by+1=0，（a＞0，b＞0）对称，则

1

a

+

4

b

的最小值为

 

．

Answer 1

考点：直线和圆的方程的应用,基本不等式在最值问题中的应用,直线与圆的位置关系

专题：不等式的解法及应用,直线与圆

分析：圆x²+y²+8x+2y+1=0关于直线ax+by+1=0（a＞0，b＞0）对称，说明直线经过圆心，推出4a+b=1，代入

1

a

+

4

b

，利用基本不等式，确定最小值，推出选项．

解答： 解：圆M：x²+y²+8x+2y+1=0的圆心（-4，-2）．
由圆M：x²+y²+8x+2y+1=0上存在A，B两点关于直线l：ax+by+1=0，（a＞0，b＞0）对称，
可得，直线ax+by+1=0必过圆心（-4，-1），
所以4a+b=1．
所以

1

a

+

4

b

=（

1

a

+

4

b

）（4a+b）=4+4+

4a

b

+

4b

a

≥2

4a b • 4b a

+8=12，
当且仅当

4a

b

=

4b

a

，
即a=b时取等号，

1

a

+

4

b

的最小值为12．
故答案为：12．

点评：本题考查关于点、直线对称的圆的方程，基本不等式，考查计算能力，是中档题．