Question

（本小题满分12分）如图几何体中，四边形ABCD为矩形，,G为FC的中点，M为线段CD上的一点，且.

（Ⅰ）证明：AF//面BDG；

（Ⅱ）证明：面面BFC；

（Ⅲ）求三棱锥的体积V.

Answer 1

（Ⅰ）（Ⅱ）证明见解析；（Ⅲ）三棱锥的体积为.

【解析】

试题分析：（1）证明线面平行常用方法：一是利用线面平行的判定定理，二是利用面面平行的性质定理，三是利用面面平行的性质；（2）证明两个平面垂直，首先考虑直线与平面垂直，也可以简单记为“证面面垂直，找线面垂直”，是化归思想的体现，这种思想方法与空间中的平行关系的证明类似，掌握化归与转化思想方法是解决这类题的关键. （3）在求三棱柱体积时，选择适当的底作为底面，这样体积容易计算.

试题解析：（Ⅰ）连接交于点，则为的中点，连接,

因为点为中点，所以为的中位线,所以， 2分

面， 面，

面 5分

（Ⅱ）连接,，为的中点,

,

，,

，为矩形, 7分

，又，为平行四边形, 8分

，为正三角形 ，

面,

面,面面． 10分

（Ⅲ）,

因为，,所以,

所以． 12分

考点：（1）线面平行的判定；（2）面面垂直；（3）几何体的体积