Question

4．△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，已知向量$\overrightarrow{m}$=（a，btanA），$\overrightarrow{n}$=（b，atanB），若$\overrightarrow{m}$∥$\overrightarrow{n}$，试判定△ABC的形状．

Answer 1

分析 通过向量的共线结合正弦定理以及同角三角函数的基本关系式化简即可得到结果．

解答 解：向量$\overrightarrow{m}$=（a，btanA），$\overrightarrow{n}$=（b，atanB），$\overrightarrow{m}$∥$\overrightarrow{n}$，
知a²tanB=b²tanA，即a²sinBcosA=b²sinAcosB，
利用正弦定理化简得：sinAcosA=sinBcosB，即sin2A=sin2B，
又A，B∈（0，π），0＜A+B＜π，
∴2A=2B，或2A+2B=π，即A=B或A+B=$\frac{π}{2}$，
则△ABC为等腰三角形或直角三角形；

点评 此题属于解三角形的题型，涉及的知识有：平面向量的数量积运算，正弦定理，二倍角的正弦函数公式，以及正弦、余弦函数的图象与性质，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．