Question

在1与2之间插入n个正数A₁,A₂,A₃,…,A_n,使这n+2个数成等比数列；又在1与2之间插入n个正数B₁,B₂,B₃,…,B_n，使这n+2个数成等差数列.记A_n=A₁A₂A₃…A_n,B_n=B₁+B₂+…+

B_n.

(1)求数列{A_n} 和{B_n}的通项；

(2)当n≥7时，比较A_n与B_n的大小，并证明你的结论.

Answer 1

解析：(1)∵1，a₁,a₂,a₃,…,a_n，2成等比数列，?

∴a₁a_n=a₂a_n-1=a₃a_n-2=…=a_ka_n-k+1=…=1×2=2.?

∴A_n²=(a₁a_n)(a₂a_n-1)(a₃a_n-2)…(a_n-1a₂)(a_na₁)=(1×2)=2.

∴A_n=2.?

∵1,b₁,b₂,b₃,…,b_n，2成等差数列，?

∴B_n=()n=n.?

∴数列{A_n}的通项A_n=2，数列{B_n}的通项B_n=n.?

(2)∵A_n=2,?

B_n=n,

?

∴A_n²=2ⁿ,B_n²=n²,要比较A_n与B_n的大小，只需比较A_n²与B_n²的大小，也就是比较当n≥7,2ⁿ与n²的大小.?

当n=7时，2ⁿ=128，n²=×49=110,知2ⁿ＞n².?

经验证，n=8，n=9时，均有2ⁿ＞n²成立,猜想,

当n≥7时有2ⁿ＞n²，下面用数学归纳法证明:

①当n=7时，已证2ⁿ＞n²,?

②假设n=k(k≥7)时，不等式成立，即2^k＞k²?,

那么，当n=k+1时，?

2^k+1=2·2^k＞2·k²?

=［(k+1)²+k²-2k-1］?

=［(k+1)²+k(k-2)-1］.?

∵k≥7,?

∴k(k-2)≥35,k(k-2)-1＞0.?

∴［(k+1)²+k(k-2)-1］＞(k+1)².?

故2^k+1＞ (k+1)²,即n=k+1时不等式也?成立.??

根据①②,当n≥7时，2ⁿ＞n²成立,即A_n²＞B_n²,

∴A_n＞B_n.