Question

设函数（），．

(1) 将函数图象向右平移一个单位即可得到函数的图象，试写出的解析式及值域；

(2) 关于的不等式的解集中的整数恰有3个，求实数的取值范围；

(3) 对于函数与定义域上的任意实数，若存在常数，使得和都成立，则称直线为函数与的“分界线”．设，，试探究与是否存在“分界线”？若存在，求出“分界线”的方程；若不存在，请说明理由．

Answer 1

的解集中的整数恰有3个转化为解集的两个端点所在区间问题,从而把问题转化为研究二次方程的根的分布问题;又由于转化后的不等式可以分解因式因此可以化为更简单的问题求解; (3)该题一般的思考应该是分两次研究两个恒成立问题,含有两个参数,增加问题的难度,如果能转化为求公共切线问题,就可以使问题得到简化,因此可以想到这两条曲线是否存在公共点,即探讨两曲线的交点,再研究过交点的公共切线;该题考查函数性质、数形结合、解不等式、导数及其运用、分类讨论、转化化归能力、分析问题解决问题能力，其中(1)是简单题, (2)是中档题, (3)是难题。

21解：（1），值域为　　　　　　　　　…………2分

（2）解法一:不等式的解集中的整数恰有3个，

等价于恰有三个整数解，故，　　　　　　

令，由且，

所以函数的一个零点在区间，

则另一个零点一定在区间，　　　　　　　　　　　　　　　　　…………4分

故解之得．　　　　　　　　　　　　　　　　　…………6分

解法二：恰有三个整数解，故，即，

，

所以，又因为，　　　…………4分

所以，解之得．　　　　　　　　　　　……6分

（3）设，则．

所以当时，；当时，．

因此时，取得最小值，

则与的图象在处有公共点．　　　　　　　………8分

设与存在 “分界线”，方程为，

即，

由在恒成立，则在恒成立 ．

所以成立，

因此．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　………8分

下面证明恒成立．

 设，则．

 所以当时，；当时，．

因此时取得最大值，则成立．

故所求“分界线”方程为：．　　　　　　　　　　　　…………12分