Question

7．一个多面体的直观图和三视图如图，M是A₁B的中点，N是棱B₁C₁上的任意一点（含顶点）．

①当点N是棱B₁C₁的中点时，MN∥平面ACC₁A₁；
②MN⊥A₁C；
③三棱锥N-A₁BC的体积为V_{N-A${\;}_{{\;}_{1}}$BC}=$\frac{1}{6}$a³；
④点M是该多面体外接球的球心．
其中正确的是①②③④．

Answer 1

分析 本题是直观图和三视图的综合分析题，要抓住M是A₁B的中点，N是棱B₁C₁上的任意一点（含顶点）就是动点，从三视图抓住直观图的特征，结合下情况分别证明．

解答 解：①M连接AB中点E，N连接BC中点F，得到MNFE平行于平面ACC₁A₁，
面面平行⇒线面平行，①正确；
②M连接A₁C中点G，连接C₁G，A₁C⊥平面MNC₁G．∴MN⊥A₁C；②正确；
③三棱锥N-A₁BC的体积为V_N-A=$\frac{1}{3}•{S}_{{BCA}_{1}}•M{B}_{1}$=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}•C{A}_{1}•BC•M{B}_{1}$=$\frac{1}{6}$a³，③正确；
④由三视图可知：此多面体是正方体切割下来了的，M是A₁B的中点（空间对角线中点），是正方体中心，∴点M是该多面体外接球的球心．故④正确．
故答案为：①②③④．

点评 本题考查了直观图和三视图的关系．通过三视图抓住直观图的特征；线面垂直的判定和性质，遇中点找中点的思想．考虑补形来确定球心．考查空间想象能力，是中档题．