Question

16．已知直线l：（m-2）x-y-3m+5=0（m∈R）和圆C：x²+y²-8x+4y+16=0．
（1）若m∈[1，2]，求直线l的倾斜角的取值范围；
（2）设直线l和圆C相交于A，B两点，求以AB为直径且面积最小的圆的标准方程，并求出对应的m值；
（3）直线l能否将圆C分割成弧长的比值为$\frac{1}{2}$的两段圆弧？如果能，请求出直线l的方程；如果不能，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）求出直线的斜率，利用m∈[1，2]，得到斜率的范围，即可求直线l的倾斜角的取值范围；
（2）确定直线过定点P，以AB为直径且面积最小的圆，AB⊥PC，所求圆的圆心为P（3，1），即可求以AB为直径且面积最小的圆的标准方程，并求出对应的m值；
（3）直线l能否将圆C分割成弧长的比值为$\frac{1}{2}$的两段圆弧，利用直线与圆相交，注意半径、弦心距、弦长的一半构成的直角三角形，即可得出结论．

解答 解：（1）直线l的斜率k=m-2，
∵m∈[1，2]，
∴k∈[-1，0]，
∴直线l的倾斜角的取值范围为{0}∪[$\frac{3π}{4}$，π）；
（2）直线l：（m-2）x-y-3m+5=0得m（x-3）-（2x+y-5）=0，
∴$\left\{\begin{array}{l}{x-3=0}\\{2x+y-5=0}\end{array}\right.$，∴x=3，y=-1，
∴直线l过定点P（3，-1），
∴PC=$\sqrt{（3-4）^{2}+（-1+2）^{2}}$=$\sqrt{2}$＜2，
∴P在圆C的内部，
∴以AB为直径且面积最小的圆，AB⊥PC，所求圆的圆心为P（3，1），
∵AB=2$\sqrt{{r}^{2}-P{C}^{2}}$=2$\sqrt{2}$，
∴所求圆的方程为（x-3）²+（y+1）²=2，
∵k_PC=-1，∴k_l=m-2=1，
∴m=3；
（3）圆C的圆心为C（4，-2），半径r=2；
假设直线l能否将圆C分割成弧长的比值为$\frac{1}{2}$的两段圆弧，则其中劣弧所对的圆心角为120°，
∵圆C的半径r=2，
∴圆心C到直线l的距离d=$\frac{|4（m-2）+2-3m+5|}{\sqrt{（m-2）^{2}+1}}$=1，
∴m=2，
∴直线l能将圆C分割成弧长的比值为$\frac{1}{2}$的两段圆弧，且直线l的方程为y=-1．

点评 本题考查直线与圆，考查点到直线的距离公式，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．