Question

1．已知函数f（x）=-x²+2kx-4，若对任意x∈R，f（x）-|x+1|-|x-1|≤0恒成立，则实数k的取值范围是[-3，3]．

Answer 1

分析 由题意可得2kx≤|x+1|+|x-1|+x²+4恒成立，讨论x=0，x＞0，x＜0，去掉绝对值，运用基本不等式和对勾函数的单调性，求得最值，即可得到所求k的范围．

解答 解：对任意x∈R，f（x）-|x+1|-|x-1|≤0恒成立，
即为2kx≤|x+1|+|x-1|+x²+4恒成立，
若x=0，则0≤1+1+0+4=6恒成立；
若x＞0，则2k≤x+$\frac{4}{x}$+|1+$\frac{1}{x}$|+|1-$\frac{1}{x}$|，
令g（x）=x+$\frac{4}{x}$+|1+$\frac{1}{x}$|+|1-$\frac{1}{x}$|，
当x≥1时，g（x）=x+$\frac{4}{x}$+1+$\frac{1}{x}$+|1-$\frac{1}{x}$|=2+（x+$\frac{4}{x}$）≥2+2$\sqrt{x•\frac{4}{x}}$=6，
（当且仅当x=2时，取得等号），
当0＜x＜1时，g（x）=x+$\frac{6}{x}$在（0，1）递减，可得g（x）＞7，
则x＞0时，g（x）的最小值为6，
可得2k≤6，即k≤3；
若x＜0，则2k≥x+$\frac{4}{x}$+$\frac{|x-1|+|x+1|}{x}$，
令h（x）=x+$\frac{4}{x}$+$\frac{|x-1|+|x+1|}{x}$，
当x＜-1时，h（x）=x+$\frac{4}{x}$-1+$\frac{1}{x}$-1-$\frac{1}{x}$=-2+（x+$\frac{4}{x}$）≤-2-2$\sqrt{x•\frac{4}{x}}$=-6，
（当且仅当x=-2时，取得等号），
当-1≤x＜0时，h（x）=x+$\frac{6}{x}$在[-1，0）递减，可得g（x）≤-7，
则x＜0时，g（x）的最大值为-6，
可得2k≥-6，即k≥-3．
综上可得，k的范围是[-3，3]．
故答案为：[-3，3]．

点评 本题考查不等式恒成立问题的解法，注意运用分类讨论的思想方法，以及基本不等式和函数的单调性，考查化简整理的运算能力，属于难题．