Question

8．已知函数f（x）=$\frac{（x+1）（x+a）}{x}$为奇函数．
（1）求实数a的值；
（2）利用函数单调性的定义证明函数在区间（0，+∞）上是增函数．

Answer 1

分析 （1）利用函数是奇函数，由f（1）+f（-1）=0即可得到a的值；
（2）利用函数单调性的定义进行判断即可得到结论．

解答 解：（1）∵函数 为奇函数，
∴f（x）+f（-x）=0，
∴f（1）+f（-1）=0，
即2（1+a）+0=0，
∴a=-1．
（2）证明：任取x₁，x₂∈（0，+∞），
使得△x=x₂-x₁＞0，
则△y=f（x₂）-f（x₁）=$\frac{{{x}_{2}}^{2}-1}{{x}_{2}}$-$\frac{{{x}_{1}}^{2}-1}{{x}_{1}}$
=$\frac{{x}_{1}{x}_{2}（{{x}_{2}-x}_{1}）+（{{x}_{2}-x}_{1}）}{{{x}_{1}x}_{2}}$
=$\frac{{（x}_{2}{-x}_{1}）{{（x}_{1}x}_{2}+1）}{{{x}_{1}x}_{2}}$，
∵x₂-x₁＞0，x₁x₂+1＞0，x₁x₂＞0，
∴△y＞0，
∴f（x）在（0，+∞）递增．

点评 本题主要考查函数奇偶性和单调性的判断和应用，根据函数奇偶性和单调性的定义和性质是解决本题的关键．