Question

20．数列{a_n}是以a₁=1为首项，以2为公差的等差数列，若数列{$\frac{1}{{{a_n}{a_{n+1}}}}$}的前n项和为T_n，则满足T_n＞$\frac{100}{209}$的最小正整数n为（　　）

• A． 9
• B． 10
• C． 11
• D． 12

Answer 1

分析 运用裂项相消求和，即数列$\frac{1}{{{a_n}{a_{n+1}}}}$=$\frac{1}{（2n-1）（2n+1）}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$），求和，解不等式即可确定最小的正整数n．

解答 解：数列{a_n}是以a₁=1为首项，以2为公差的等差数列，
则a_n=a₁+（n-1）d=2n-1；
∴$\frac{1}{{{a_n}{a_{n+1}}}}$=$\frac{1}{（2n-1）（2n+1）}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$），
∴T_n=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{5}$+…+$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$）=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{2n+1}$）=$\frac{n}{2n+1}$，
∵T_n=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{2n+1}$）＞$\frac{100}{209}$，
∴即为2n+1＞$\frac{209}{9}$，即n＞$\frac{100}{9}$，
满足T_n＞$\frac{100}{209}$的最小正整数n为12．
故选：D．

点评 本题考查等差数列的通项公式，考查数列求和的方法：裂项相消求和，考查运算能力，属于中档题．