Question

13．在数列{a_n}中，a₁=2且$|{\begin{array}{l}1&3\\{{a_{n+1}}}&{a_n}\end{array}}|$=0，若S_n是{a_n}的前n项和，则$\lim_{n→∞}{S_n}$=3．

Answer 1

分析 利用行列式，可得$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$=$\frac{1}{3}$，再利用无穷等比数列的求和公式，即可得出结论．

解答 解：∵$|{\begin{array}{l}1&3\\{{a_{n+1}}}&{a_n}\end{array}}|$=0，
∴a_n=3a_n+1，
∴$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$=$\frac{1}{3}$，
∵a₁=2，
∴$\lim_{n→∞}{S_n}$=$\frac{2}{1-\frac{1}{3}}$=3．
故答案为：3．

点评 本题主要考查行列式，等比数列的求和公式，数列极限的运算法则的应用，属于中档题．