Question

3．已知函数f（x）的定义域为{x|x∈R且x≠0}，对于定义域内的任意x₁，x₂，都有f（x₁x₂）=f（x₁）+f（x₂），且当x＞1时，f（x）＞0．
（1）求证：f（x）是偶函数；
（2）求证：f（x）在（0，+∞）上是增函数；
（3）如果f（ax+1）≤f（x-2）在x∈[$\frac{1}{2}$，1]上恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）令x₁=x₂=1，由题设求得f（1）=0；令x₁=x₂=-1，求得f（-1）=0；再令x₁=x，x₂=-1，可得f（-x）=f（x），即可得证；
（2）设0＜x₁＜x₂，则$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$＞1，由条件可得f（$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$）＞0．再由f（x₂）=f（x₁•$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$），结合条件，以及单调性的定义，即可得证；
（3）运用偶函数的单调性，可得|ax+1|≤|x-2|，且x∈[$\frac{1}{2}$，1]，去绝对值，运用参数分离和函数的单调性，可得最值，进而得到a的范围．

解答 证明：（1）定义域内的任意x₁，x₂，都有f（x₁x₂）=f（x₁）+f（x₂），
可令x₁=x₂=1，可得f（1）=2f（1），即f（1）=0；
令x₁=x₂=-1，可得f（1）=2f（-1），即f（-1）=0；
再令x₁=x，x₂=-1，可得f（-x）=f（x）+f（-1），
即有f（-x）=f（x），
故f（x）为偶函数；
（2）设0＜x₁＜x₂，则$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$＞1，
当x＞1时，f（x）＞0，可得f（$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$）＞0．
f（x₂）=f（x₁•$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$）=f（x₁）+f（$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$）＞f（x₁），
由单调性的定义，可得f（x）在（0，+∞）上是增函数；
解：（3）由f（x）为偶函数，且在（0，+∞）上是增函数，
可得f（ax+1）≤f（x-2），
等价为|ax+1|≤|x-2|，且x∈[$\frac{1}{2}$，1]，
即有|ax+1|≤2-x，
则x-2≤ax+1≤2-x，即有1-$\frac{3}{x}$≤a≤$\frac{1}{x}$-1在x∈[$\frac{1}{2}$，1]恒成立，
由（1-$\frac{3}{x}$）_max=-2，（$\frac{1}{x}$-1）_min=0，
可得-2≤a≤0，
则a的取值范围是[-2，0]．

点评 本题考查抽象函数的奇偶性和单调性的判断及应用，考查不等式恒成立问题的解法，注意运用偶函数的性质和参数分离，函数的单调性求最值，考查化简整理的运算能力，属于中档题．