Question

已知三角形PAD所在平面与矩形ABCD所在平面互相垂直，PA=PD=AB=2，∠APD=120°，若点P，A，B，C，D都在同一球面上，则此球的表面积等于（　　）

• A、8π
• B、12π
• C、16π
• D、20π

Answer 1

考点：球的体积和表面积

专题：空间位置关系与距离,球

分析：设球心为O，如图．由于点P、A、B、C、D都在同一球面上，推出OP=OB=R，设OE=x，分别在直角三角形BOE中，和在直角三角形POH中，列出球的半径的式子，通过解方程求得此球的半径，从而得出球的表面积．

解答：解：设球心为O，如图．
由PA=PD=AB=2，∠APD=120°，可求得AD=2

3

在矩形ABCD中，可求得对角线BD=4，故BE=2
由于点P、A、B、C、D都在同一球面上，
∴OP=OB=R
设OE=x，在直角三角形BOE中，
OB²=BE²+OE²=4+x²
过O作线段OH垂直平面PAD于H点，H是垂足，由于O点到面PAD的距离与点E到平面PAD的距离相等，故OH=1
∴在直角三角形POH中，PO²=OH²+PH²=1+（1+x）²
∴4+x²=1+（1+x）²，解得x=1，
∴球的半径R=OB=

5

则此球的表面积等于=4πR²=20π．
故选：D．

点评：本题是中档题，考查球的体积和表面积，解题的根据是点P、A、B、C、D都在同一球面上，考查计算能力，空间想象能力．