已知点列B1(1,y1).B2(2,y2).-.Bn(n,yn) 顺次为一次函数图象上的点. 点列A1(x1,0).A2(x2,0).-.An(xn,0) 顺次为x轴正半轴上的点.其中x1=a. 对于任意n∈N.点An.Bn.An+1构成以 Bn为顶点的等腰三角形.⑴求{yn}的通项公式.且证明{yn}是等差数列,⑵试判断xn+2-xn是否为同一常数.并求出数列{xn}的通项公式,� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

已知点列B₁(1,y₁)、B₂(2,y₂)、…、B_n(n,y_n)（n∈N）顺次为一次函数

图象上的点，点列A₁(x₁,0)、A₂(x₂,0)、…、A_n(x_n,0)（n∈N）顺次为x轴正半轴上的点，其中x₁=a（0＜a＜1），对于任意n∈N，点A_n、B_n、A_n+1构成以 B_n为顶点的等腰三角形.
⑴求{y_n}的通项公式，且证明{y_n}是等差数列；
⑵试判断x_n+2-x_n是否为同一常数（不必证明），并求出数列{x_n}的通项公式；
⑶在上述等腰三角形A_nB_nA_n+1中，是否存在直角三角形？若有，求出此时a值；若不存在，请说明理由.

（1）

(nÎN)；（2）x_n=

（3）存在直角三形，此时a的值为

、

（I）因为

(nÎN),易根据等差数列的定义判断出{y_n}为等差数列.
（II）解本小题的关键是先根据x_n+1-x_n=2为常数,可确定

的奇数项和偶数项分别成等差数列，从而求出

.
(III) 要使A_nB_nA_n+1为直角三形，则 |A_nA_n+1|=2

=2(

)Þx_n+1-x_n=2(

)，
当n为奇数时，x_n+1-x_n=2(1-a)；当n为偶数时，x_n+1-x_n=2a.然后分别研究即可.
（1）

(nÎN),y_n+1-y_n=

,∴{y_n}为等差数列 (4¢)
（2）x_n+1-x_n=2为常数 (6¢) ∴x₁,x₃,x₅,…,x_2n-1及x₂,x₄,x_6,,…，x_2n都是公差为2的等差数列，
∴x_2n-1=x₁+2(n-1)=2n-2+a，x_2n=x₂+2(n-1)=2-a+2n-2=2n-a，
∴x_n=

（3）要使A_nB_nA_n+1为直角三形，则 |A_nA_n+1|=2

=2(

)Þx_n+1-x_n=2(

)
当n为奇数时，x_n+1=n+1-a，x_n=n+a-1,∴x_n+1-x_n=2(1-a).
Þ2(1-a)=2(

) Þa=

(n为奇数，0＜a＜1) (*)
取n=1，得a=

，取n=3，得a=

，若n≥5，则(*)无解； (14¢)
当偶数时，x_n+1=n+a，x_n=n-a，∴x_n+1-x_n=2a.
∴2a=2(

)Þa=

(n为偶数，0＜a＜1) (*¢)，取n=2，得a=

,
若n≥4，则(*¢)无解.
综上可知，存在直角三形，此时a的值为

、

. (18¢)

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