Question

12．已知$θ∈（0，\frac{π}{2}）$，$sinθ=\frac{3}{5}$．
（Ⅰ）求$sin（θ-\frac{π}{6}）$的值；
（Ⅱ）求tan2θ的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用同角三角函数的基本关系，两角差的正弦公式，求得$sin（θ-\frac{π}{6}）$的值．
（Ⅱ）由以上可得$tanθ=\frac{3}{4}$，再利用二倍角公式求得tan2θ的值．

解答 解：（Ⅰ）∵$θ∈（0，\frac{π}{2}）$，$sinθ=\frac{3}{5}$，∴$cosθ=\frac{4}{5}$，
∴$sin（θ-\frac{π}{6}）$=$sinθcos\frac{π}{6}-cosθsin\frac{π}{6}$=$\frac{3}{5}×\frac{{\sqrt{3}}}{2}-\frac{4}{5}×\frac{1}{2}=\frac{{3\sqrt{3}-4}}{10}$．
（Ⅱ）由以上可得，$tanθ=\frac{3}{4}$，∴tan2θ=$\frac{2tanθ}{{1-{{tan}^2}θ}}$=$\frac{{2×\frac{3}{4}}}{{1-\frac{9}{16}}}=\frac{24}{7}$．

点评 本题主要考查同角三角函数的基本关系，两角差的正弦公式、二倍角公式的应用，属于基础题．