Question

2．椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞b＞0}）$的左、右焦点分别为F₁（-c，0）、F₂（c，0），过椭圆中心的弦PQ满足|PQ|=2，∠PF₂Q=90°，且△PF₂Q的面积为1．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）直线l不经过点A（0，1），且与椭圆交于M，N两点，若以MN为直径的圆经过点A，求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标．

Answer 1

分析 （1）利用已知条件推出平行四边形PF₁QF₂为矩形，求出c，通过三角形的面积求解a，然后求解b，即可得到椭圆方程．
（2）利用$\left\{\begin{array}{l}\frac{x^2}{2}+{y^2}=1\\ y=kx+m\end{array}\right.⇒（2{k^2}+1）{x^2}+4kmx+2（{m^2}-1）=0$，通过韦达定理求出m值，然后求解定点坐标．

解答 解：（1）∠PF₂Q=90°⇒平行四边形PF₁QF₂为矩形，
⇒|F₁F₂|=|PQ|=2⇒c=1${S_{△P{F_1}{F_2}}}={S_{P{F_2}Q}}=1⇒P{F_1}•P{F_2}=2$，
又PF₁+PF₂=2a，得a²=2，b²=1，
椭圆方程：$\frac{x^2}{2}+{y^2}=1$…．（4分）
（2）解：设直线l：y=kx+m，M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
则$\left\{\begin{array}{l}\frac{x^2}{2}+{y^2}=1\\ y=kx+m\end{array}\right.⇒（2{k^2}+1）{x^2}+4kmx+2（{m^2}-1）=0$
$⇒△=8（2{k^2}+1-{m^2}），{x_1}+{x_2}=\frac{-4km}{{2{k^2}+1}}，{x_1}{x_2}=\frac{{2（{m^2}-1）}}{{2{k^2}+1}}$…．（6分）
以MN为直径的圆经过点A，
$⇒\overrightarrow{AM}•\overrightarrow{AN}=（{x_1}，{y_1}-1）•（{x_2}，{y_2}-1）=0$⇒3m²-2m-1=0…．（10分）
又直线不经过A（0，1），所以m≠1，$m=-\frac{1}{3}$，
直线l：y=kx-$\frac{1}{3}$，
直线经过定点$（0，-\frac{1}{3}）$…（12分）

点评 本题考查直线与椭圆的位置关系的应用，椭圆方程的求法，考查转化思想以及计算能力．