Question

19．设函数f（x）=x（e^x-1）-ax²（e=2.71828…是自然对数的底数）．
（1）若$a=\frac{1}{2}$，求函数f（x）的单调区间；
（2）若f（x）在（-1，0）内无极值，求a的取值范围；
（3）设n∈N^*，x＞0，求证：${e^x}＞1+\frac{x}{1!}+\frac{x^2}{2!}+…+\frac{x^n}{n!}$．

Answer 1

分析 （1）当$a=\frac{1}{2}$时，f'（x）=e^x-1+xe^x-x=（e^x-1）（x+1），由此利用导数性质能求出函数f（x）的单调区间．
（2）若f（x）在（-1，0）内无极值，则f（x）在（-1，0）上单调，又f'（x）=（x+1）e^x-2ax-1，由此利用分类讨论思想及导数的性质能求出a的取值范围．
（3）用数学归纳法能证明${e^x}＞1+\frac{x}{1!}+\frac{x^2}{2!}+…+\frac{x^n}{n!}$．

解答 （本小题满分12分）
解：（1）当$a=\frac{1}{2}$时，$f（x）=x（{e^x}-1）-\frac{1}{2}{x^2}$
所以f'（x）=e^x-1+xe^x-x=（e^x-1）（x+1）
当x∈（-∞，-1）时，f'（x）＞0；当x∈（-1，0）时，f'（x）＜0；
当x∈（0，+∞）时，f'（x）＞0
故f（x）在（-∞，-1），（0，+∞）单调递增，在（-1，0）单调递减． …（4分）
（2）若f（x）在（-1，0）内无极值，则f（x）在（-1，0）上单调，
又f'（x）=（x+1）e^x-2ax-1
①若f（x）在（-1，0）上递减，则f'（x）≤0，对x∈（-1，0）恒成立，
于是有$2a≤\frac{{（x+1）{e^x}-1}}{x}={e^x}+\frac{{{e^x}-1}}{x}$，令$g（x）={e^x}+\frac{{{e^x}-1}}{x}，h（x）=\frac{{{e^x}-1}}{x}$，
下面证明h（x）在（-∞，0）上单调递增：$h'（x）=\frac{{（x-1）{e^x}+1}}{x^2}$，令r（x）=（r-1）e^x+1，则r'（x）=（x-1）e^x+e^x=xe^x
当x＜0时，r'（x）＜0，r（x）单调递减，r（x）＞r（0）=0，h'（x）＞0h（x）在（-∞，0）单调递增．
当x∈（-1，0）时，由g（x）=e^x+h（x）是增函数，得g（x）＞g（-1）=1．
由2a≤g（x），得$2a≤1，a≤\frac{1}{2}$；
②若f（x）在（-1，0）上单调递增，则f'（x）≥0，对x∈（-1，0）恒成立，
于是2a≥g（x），当x∈（-1，0）时，由e^x＞x+1得$h（x）=\frac{{{e^x}-1}}{x}＜1$，
从而增函数g（x）=e^x+h（x）＜2，这样2a＞2，a＞1．综上得$a∈（{-∞，\frac{1}{2}}]∪[{1，+∞}）$．…（8分）
证明：（3）用数学归纳法证明 ①当n=1时，e^x＞x+1，不等式成立；
②假设n=k时不等式成立，即${e^x}＞1+\frac{x}{1!}+\frac{x^2}{2!}+…+\frac{x^k}{k!}$，
当n=k+1时，令$ϕ（x）={e^x}-（1+\frac{x}{1!}+\frac{x^2}{2!}+…+\frac{x^k}{k!}+\frac{{{x^{k+1}}}}{（k+1）!}），x＞0$
显然ϕ（0）=0，由归纳假设，$ϕ'（x）={e^x}-（1+\frac{x}{1!}+\frac{x^2}{2!}+…+\frac{x^k}{k!}）＞0$对x＞0成立，
所以ϕ（x）在（0，+∞）上单调递增，当x＞0时，ϕ（x）＞ϕ（0）=0，即当n=k+1
时，不等式也成立．
综合①②n∈N₊，x＞0时，${e^x}＞1+\frac{x}{1!}+\frac{x^2}{2!}+…+\frac{x^n}{n!}$． …（12分）

点评 本题考查导数的几何意义、导数性质、构造法、函数性质、不等式等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、分类与整合思想，考查创新意识、应用意识，是中档题．