Question

14．若三个非零实数：x（y-z）、y（z-x）、z（y-x）成等比数列，则其公比q=$\frac{{1±\sqrt{5}}}{2}$．

Answer 1

分析 由$\frac{y（z-x）}{x（y-z）}$=$\frac{z（y-x）}{y（z-x）}$，得$\frac{yz-yx}{xy-xz}$=1+$\frac{xy-xz}{yz-xy}$，由此能求出公比q．

解答 解：∵三个非零实数：x（y-z）、y（z-x）、z（y-x）成等比数列，
∴$\frac{y（z-x）}{x（y-z）}$=$\frac{z（y-x）}{y（z-x）}$，即$\frac{yz-yx}{xy-xz}$=$\frac{yz-xz}{yz-xy}$，
又$\frac{yz-xz}{yz-xy}$=$\frac{yz-xy+xy-xz}{yz-xy}$=1+$\frac{xy-xz}{yz-xy}$，
$\frac{yz-yx}{xy-xz}$=1+$\frac{xy-xz}{yz-xy}$，
设$\frac{yz-yx}{xy-xz}$=q，则q=1+$\frac{1}{q}$，
解得：q=$\frac{1±\sqrt{5}}{2}$．
故答案为：$\frac{{1±\sqrt{5}}}{2}$．

点评 本题考查等比数列中项数的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等比数列的性质的合理运用．