Question

6．如图，斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，侧面AA₁B₁B为菱形，底面△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，A₁B⊥B₁C．
（1）求证：直线AC⊥直线BB₁；
（2）若直线BB₁与底面ABC成的角为60°，求二面角A-BB₁-C的余弦值．

Answer 1

分析 （1）连接AB₁，由已知可得AB₁⊥A₁B，进一步得到A₁B⊥平面AB₁C，可得A₁B⊥AC，结合AC⊥AB，利用线面垂直的判定可得AC⊥平面AA₁B₁B，则直线AC⊥直线BB₁；
（2）由（1）知，平面ABC⊥平面AA₁B₁B，由B₁作AB的垂线，垂足为D，则BD⊥平面ABC，可得∠B₁BA=60°，得D为AB的中点，过A作DB₁的平行线，交A₁B₁于E点，则AE⊥平面ABC，建立如图所示的空间直角坐标系，设AB=2，可得$\overrightarrow{AC}=（{0，2，0}）$为平面AB₁B的一个法向量，再求出平面AB₁B的法向量，利用两法向量所成角的余弦值可得二面角A-BB₁-C的余弦值．

解答 （1）证明：连接AB₁，
∵侧面AA₁B₁B为菱形，
∴AB₁⊥A₁B，
又AB₁与BC₁相互垂直，AB₁∩B₁C=B₁，
∴A₁B⊥平面AB₁C，
∴A₁B⊥AC，又AC⊥AB，AB∩A₁B=B，
∴AC⊥平面AA₁B₁B，
∵BB₁?平面AA₁B₁B，∴直线AC⊥直线BB₁；
（2）解：由（1）知，平面ABC⊥平面AA₁B₁B，由B₁作AB的垂线，垂足为D，则BD⊥平面ABC，
∴∠B₁BA=60°，得D为AB的中点，
过A作DB₁的平行线，交A₁B₁于E点，则AE⊥平面ABC，
建立如图所示的空间直角坐标系，设AB=2，
则$\overrightarrow{AC}=（{0，2，0}）$为平面AB₁B的一个法向量，
则B（2，0，0），C（0，2，0），$\overrightarrow{BC}=（{-2，2，0}），\overrightarrow{B{B_1}}=（{0，-1，\sqrt{3}}）$，
设平面AB₁B的法向量$\overrightarrow{n}=（x，y，z）$，
由$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BC}=-2x+2y=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{B{B}_{1}}=-y+\sqrt{3}z=0}\end{array}\right.$，取x=$\sqrt{3}$，得$\overrightarrow{n}=（\sqrt{3}，\sqrt{3}，1）$，
∴cos＜$\overrightarrow{AC}，\overrightarrow{n}$＞=$\frac{\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{AC}||\overrightarrow{n}|}=\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{7}}=\frac{\sqrt{21}}{7}$，
故二面角A-BB₁-C的余弦值为$\frac{{\sqrt{7}}}{7}$．

点评 本题考查直线与平面垂直的判定，考查空间想象能力和思维能力，训练了利用空间向量求解二面角的平面角，是中档题．