Question

13．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）过点M（1，$\frac{3}{2}$），且左焦点为F₁（-1，0）．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设椭圆C的左右顶点分别为A，B，P为椭圆C上一动点，直线PA，PB分别交直线x=a²于点D，E．
试探究D，E两点纵坐标的乘积是否为定值？若是定值，求出该定值；若不是，说明理由．

Answer 1

分析 （1）利用椭圆的定义，求出a，根据左焦点为F₁（-1，0），得出c，求出b，即可椭圆C的方程；
（2）由（1）可知A（-2，0），B（2，0），设P（x₀，y₀），则直线PA的方程为y=$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}+2}$（x+2）①，直线PB的方程为y=$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}-2}$（x-2）②．将x=2代入①②，可得y_D=$\frac{6{y}_{0}}{{x}_{0}+2}$，y_E=$\frac{2{y}_{0}}{{x}_{0}-2}$，即求出D，E两点纵坐标的乘积是定值-9．

解答 解：（1）由椭圆的定义可得2a=$\sqrt{（1+1）^{2}+（\frac{3}{2}）^{2}}$+$\frac{3}{2}$=4，
∴a=2，
∵c=1，∴b=$\sqrt{3}$，
∴椭圆C的方程是$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$；
（2）由（1）可知A（-2，0），B（2，0），
设P（x₀，y₀），则直线PA的方程为y=$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}+2}$（x+2）①，直线PB的方程为y=$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}-2}$（x-2）②．
将x=4代入①②，可得y_D=$\frac{6{y}_{0}}{{x}_{0}+2}$，y_E=$\frac{2{y}_{0}}{{x}_{0}-2}$，
∴y_D•y_E=$\frac{6{y}_{0}}{{x}_{0}+2}$•$\frac{2{y}_{0}}{{x}_{0}-2}$=$\frac{12{{y}_{0}}^{2}}{{{x}_{0}}^{2}-4}$，
∵P（x₀，y₀）在椭圆上，
∴${{y}_{0}}^{2}$=-$\frac{3}{4}$（${{x}_{0}}^{2}$-4），
∴y_D•y_E=$\frac{12{{y}_{0}}^{2}}{{{x}_{0}}^{2}-4}$=-9
∴D，E两点纵坐标的乘积是定值-9．

点评 本题考查椭圆的定义与方程，考查D，E两点纵坐标的乘积是定值，考查学生的计算能力，属于中档题．