Question

5．若不等式sin²x-asinx+2≥0对任意的x∈（0，$\frac{π}{2}$]恒成立，则实数a的最大值是（　　）

• A． 2$\sqrt{2}$
• B． $\sqrt{2}$
• C． 2
• D． 3

Answer 1

分析 利用换元法令t=sinx，不等式可整理为t²-at+2≥0恒成立，得$a≤\frac{{t}^{2}+2}{t}$，利用分离常数法求出实数a的最大值即可．

解答 解：设t=sinx，∵x∈（0，$\frac{π}{2}$]，∴t∈（0，1]，
则不等式即为t²-at+2≥0在t∈（0，1]恒成立，
即$a≤\frac{{t}^{2}+2}{t}=t+\frac{2}{t}$在t∈（0，1]恒成立，
∴a≤3．
故选：D．

点评 本题主要考查不等式恒成立问题，利用换元法结合基本不等式求出函数的最值是解决本题的关键，是基础题．