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    已知点A(1，0)，B(0，1)和互不相同的点P1，P2，P3，…，Pn，…，满足，其中{an}，{bn}分别为等差数列和等比数列，O为坐标原点，若P1是线段AB的中点.

    (1)求a1，b1的值；

    (2)点P1，P2，P3，…，Pn，…能否共线？证明你的结论；

    (3)证明：对于给定的公差不零的{an}，都能找到唯一的一个{bn}，使得P1，P2，P3，…，Pn，…，都在一个指数函数的图象上．

    答案：
    解析：

    　　解：(1)是线段的中点

    　　又，且不共线，

    　　由平面向量基本定理，知：

    　　(2)由

    　　设的公差为，的公比为，则由于，，，…，，…互不相同，所以，不会同时成立；

    　　若，则，

    　　，，，…，，…都在直线上；

    　　若，则为常数列，

    　　，，，…，，…都在直线上；

    　　若且，，，，…，，…共线

    　　与共线()

    　　

    　　与矛盾，

    　　∴当且时，，，，…，，…不共线．

    　　(3)设都在指数函数的图像上，则

    　　

    　　令，则，

    　　于是，有唯一解，

    　　由于，，从而满足条件“，，，…，，…互不相同”．

    　　∴当对于给定的，都能找到唯一的一个，

    　　使得，，，…，，…，都在指数函数的图象上


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