Question

17．设直线l过点M（1，1），倾斜角为$\frac{π}{6}$
（1）写出直线l的参数方程；
（2）求直线l与直线l₁：x-y-2$\sqrt{3}$=0的交点P的坐标及|PM|；
（3）已知直线l与圆C：x²+y²=4交于两点A、B，求：AB中点坐标．

Answer 1

分析 （1）设直线上任意一点到M的有向距离为t，得出该点的坐标，即为直线的参数方程；
（2）将直线l的参数方程代入直线l₁的方程求出t，即为|PM|，将t代入参数方程求得P点坐标；
（3）联立直线l与圆C的方程消元，利用根与系数的关系和中点坐标公式求出中点坐标．

解答 解：（1）直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=1+\frac{\sqrt{3}}{2}t}\\{y=1+\frac{1}{2}t}\end{array}\right.$（t为参数）．
（2）将直线l的参数方程代入x-y-2$\sqrt{3}$=0得$\frac{\sqrt{3}}{2}t-\frac{1}{2}t-2\sqrt{3}=0$，
解得t=6+2$\sqrt{3}$．
∴x=1+$\frac{\sqrt{3}}{2}$（6+2$\sqrt{3}$）=4+3$\sqrt{3}$，y=1+$\frac{1}{2}$（6+2$\sqrt{3}$）=4+$\sqrt{3}$．
即P（4+3$\sqrt{3}$，4+$\sqrt{3}$）．
∴|PM|=t=6+2$\sqrt{3}$．
（3）直线l的普通方程为y-1=$\frac{\sqrt{3}}{3}$（x-1），即y=$\frac{\sqrt{3}}{3}x-\frac{\sqrt{3}}{3}+1$．
联立方程组$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{\sqrt{3}}{3}x-\frac{\sqrt{3}}{3}+1}\\{{x}^{2}+{y}^{2}=4}\end{array}\right.$，消元得2x²+（1-$\sqrt{3}$）x-4-$\sqrt{3}$=0．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则x₁+x₂=$\frac{\sqrt{3}-1}{2}$，y₁+y₂=$\frac{\sqrt{3}}{3}$（x₁+x₂）-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$+2=$\frac{15-5\sqrt{3}}{6}$．
∴AB的中点坐标为（$\frac{\sqrt{3}-1}{4}$，$\frac{15-5\sqrt{3}}{12}$）．

点评 本题考查了直线的参数方程，参数的几何意义，直线的交点坐标，属于中档题．