已知椭圆 $数学公式$ 的面积为πab，设平面区域 $数学公式$ ．
（Ⅰ）求平面区域M的面积；
（Ⅱ）若动直线x=t被平面区域M截得的线段长为d，试用t表示d并求出d的最大值．

解：（I）由题意可得：平面区域M如图中阴影部分，则它的面积为此椭圆面积的 $\text{[math]}$ 再减去△OAB的面积，---（3分）
由题中的条件可得：椭圆面积的 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ ，三角形OAB的面积为1，
所以阴影部分的面积为 $\text{[math]}$ ；---（6分）
（II）直线x=t在平面区域M中截得的线段长 $\text{[math]}$ ，---（10分）
设 $\text{[math]}$ ，
则有 $\text{[math]}$
根据三角函数的性质可得：当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ ．---（14分）
分析：（I）由题意可得：平面区域M如图中阴影部分，则它的面积为此椭圆面积的 $\text{[math]}$ 再减去△OAB的面积，结合题中的条件计算出各部分的面积进而达到答案．
（II）直线x=t在平面区域M中截得的线段长 $\text{[math]}$ ，再利用三角换元的有关知识与三角函数的有关性质求出最大值即可．
点评：解决此类问题的关键是熟练掌握三角换元与三角函数的有关性质，以及椭圆的标准方程与性质，此题属于中档题．

练习册系列答案

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