Question

若直线ax+by+1=0被圆x²+y²=25截得的弦长等于8，则

3

a2

+

5

b2

的最小值为

 

．

Answer 1

考点：直线与圆相交的性质

专题：直线与圆

分析：由题意可得弦心距为3，即

|0+0+1|

a2+b2

=3，化简可得 a²+b²=

1

9

，再根据

3

a2

+

5

b2

=27+45+

27b2

a2

+

45a2

b2

，利用基本不等式求得它的最小值．

解答： 解：由于圆的半径为5，弦长等于8，圆心为原点，故弦心距为3，
即

|0+0+1|

a2+b2

=3，化简可得 a²+b²=

1

9

，则

3

a2

+

5

b2

=

27(a2+b2)

a2

+

45(a2+b2)

b2

=27+45+

27b2

a2

+

45a2

b2

 
≥72+2

27×45

=72+18

15

，当且仅当+

27b2

a2

=

45a2

b2

 时，取等号，
故答案为：72+18

15

．

点评：本题主要考查直线和圆相交的性质，点到直线的距离公式，弦长公式，基本不等式的应用，属于基础题．