Question

10．（理科做）已知a，b，c分别是△ABC的角A，B，C的对边，$\overrightarrow{m}$=（2a+c，b），$\overrightarrow{n}$=（cosB，cosC），且$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$=0．
（1）若b=$\sqrt{21}$，S_△ABC=$\sqrt{3}$，求a的值；
（2）若b=$\sqrt{3}$，求△ABC外接圆半径长及△ABC面积的最大值．

Answer 1

分析 （1）利用两个向量的数量积，两角和的正弦公式、诱导公式求得cosB的值，可得B的值．再根据 S_△ABC=$\sqrt{3}$，以及余弦定理求得a的值．
（2）利用正弦定理、基本不等式求得ac的最大值，可得△ABC面积为S的最大值．

解答 解：（1）△ABC中，∵$\overrightarrow{m}$=（2a+c，b），$\overrightarrow{n}$=（cosB，cosC），
且$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$=（2a+c）cosB+bcosC=0，
∴再利用正弦定理可得2sinAcosB+sinCcosB+sinBcosC=0，
即2sinAcosB=-sin（B+C）=-sinA，∴cosB=-$\frac{1}{2}$，∴B=$\frac{2π}{3}$．
由正弦定理可得△ABC的外接圆的直径2R=$\frac{b}{sinB}$=$\frac{\sqrt{21}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$．
∵S_△ABC=$\frac{1}{2}$ac•sinB=$\frac{1}{2}$ac•$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\sqrt{3}$，∴ac=4  ①．
∵b=$\sqrt{21}$，再利用余弦定理可得b²=a²+c²-2ac•cosB=a²+c²+ac=21②，
由①②求得a=4，或a=1．
（2）由（1）可得B=$\frac{2π}{3}$，∵b=$\sqrt{21}$，设△ABC的外接圆的圆心为O，
由余弦定理可得b²=3=a²+c²-2ac•cosB=a²+c²+ac≥3ac，
∴ac≤1，故△ABC面积为 S=$\frac{1}{2}$•ac•sinB≤$\frac{1}{2}$•1•$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{4}$，
故△ABC面积为S的最大值为$\frac{\sqrt{3}}{4}$．

点评 本题主要考查两个向量的数量积，两角和的正弦公式、诱导公式，正弦定理，基本不等式的应用，属于中档题．