Question

1．如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是平行四边形，PE⊥平面ABCD，垂足E在线段AD上．且AE=$\frac{1}{3}$ED．
（I）在PC上是否存在一点M，使DM∥平面PBE；
（Ⅱ）若EB⊥EC，CD=$\sqrt{5}$，PB=PC=2$\sqrt{3}$．求二面角P-CD-E的余弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）过D作DF∥BE，交BC于F，过F作FM∥PB，交PC于M，推导出平面DFM∥平面PBE，从而得到DM∥平面PBE．
（Ⅱ）以E为原点，EB为x轴，EC为y轴，EP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角P-CD-E的余弦值．

解答 解：（Ⅰ）在平面PC上存在一点M，使DM∥平面PBE．
证明如下：
过D作DF∥BE，交BC于F，过F作FM∥PB，交PC于M，
∵DF∥BE，FM∥PB，DF∩FM=F，PB∩BE=B，
DF、FM?平面DFM，PB、BE?平面PBE，
∴平面DFM∥平面PBE，
∵DM?平面DFM，∴DM∥平面PBE．
（Ⅱ）∵PE⊥平面ABCD，垂足E在线段AD上，且AE=$\frac{1}{3}$ED，EB⊥EC，CD=$\sqrt{5}$，PB=PC=2$\sqrt{3}$，
∴BC=2DC=2$\sqrt{5}$，BE=CE=$\sqrt{10}$，PE=$\sqrt{12-10}$=$\sqrt{2}$，
∴以E为原点，EB为x轴，EC为y轴，EP为z轴，建立空间直角坐标系，
P（0，0，$\sqrt{2}$）C（0，$\sqrt{10}$，0），D（-$\frac{3\sqrt{10}}{4}$，$\frac{3\sqrt{10}}{4}$，0），
$\overrightarrow{PC}$=（0，$\sqrt{10}$，-$\sqrt{2}$），$\overrightarrow{PD}$=（-$\frac{3\sqrt{10}}{4}$，$\frac{3\sqrt{10}}{4}$，-$\sqrt{2}$），
设平面PCD的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PC}=\sqrt{10}y-\sqrt{2}z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PD}=-\frac{3\sqrt{10}}{4}x+\frac{3\sqrt{10}}{4}y-\sqrt{2}z=0}\end{array}\right.$，
取y=1，得$\overrightarrow{n}$=（-$\frac{1}{3}$，1，$\sqrt{5}$），
平面CDE的法向量$\overrightarrow{m}$=（0，0，1），
设二面角P-CD-E的平面角为θ，
则cosθ=$\frac{|\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{\frac{55}{9}}}$=$\frac{3\sqrt{11}}{11}$．
∴二面角P-CD-E的余弦值为$\frac{3\sqrt{11}}{11}$．

点评 本题考查满足线面平行的点是否存在的判断与证明，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．