Question

6．如图，直三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底边是边长为2的正三角形．
（Ⅰ）如果AB₁⊥BC₁，求三棱柱的高；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求二面角A₁-AB₁-C₁的余弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）取AB中点O，A₁B₁中点M，以O为原点，OM为x轴，OB为y轴，OC为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出三棱柱的高；
（Ⅱ）求出平面AB₁C₁的法向量和平面A₁AB₁的法向量，利用向量法能求出二面角A₁-AB₁-C₁的余弦值．

解答 解：（Ⅰ）取AB中点O，A₁B₁中点M，
∵直三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底边是边长为2的正三角形，
∴MO⊥平面ABC，CO⊥平面ABB₁A₁，
以O为原点，OM为x轴，OB为y轴，OC为z轴，
建立空间直角坐标系，
设三棱柱ABC-A₁B₁C₁的高为h，
则A（-2，0，0），B₁（2，h，0），B（2，0，0），
C₁（0，h，$\sqrt{3}$），
$\overrightarrow{A{B}_{1}}$=（4，h，0），$\overrightarrow{B{C}_{1}}$=（-2，h，$\sqrt{3}$），
∵AB₁⊥BC₁，∴$\overrightarrow{A{B}_{1}}$•$\overrightarrow{B{C}_{1}}$=-8+h²=0，
解得h=2$\sqrt{2}$或h=-2$\sqrt{2}$（舍），
∴三棱柱的高为2$\sqrt{2}$．
（Ⅱ）A（-2，0，0），B₁（2，2$\sqrt{2}$，0），C₁（0，2$\sqrt{2}$，$\sqrt{3}$），
$\overrightarrow{A{B}_{1}}$=（4，2$\sqrt{2}$，0），$\overrightarrow{A{C}_{1}}$=（0，2$\sqrt{2}$，$\sqrt{3}$），
设平面AB₁C₁的法向量$\overrightarrow{m}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{A{B}_{1}}=4x+2\sqrt{2}y=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{A{C}_{1}}=2\sqrt{2}y+\sqrt{3}z=0}\end{array}\right.$，取x=1，得$\overrightarrow{m}$=（1，-$\sqrt{2}$，-$\frac{4}{\sqrt{3}}$），
平面A₁AB₁的法向量$\overrightarrow{n}$=（0，0，1），
设二面角A₁-AB₁-C₁的平面角为θ，
则cosθ=$\frac{|\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{\frac{4}{\sqrt{3}}}{\frac{5}{\sqrt{3}}}$=$\frac{4}{5}$．
∴二面角A₁-AB₁-C₁的余弦值为$\frac{4}{5}$．

点评 本题考查三棱柱的高和二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．