Question

16．一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示．
（1）判断正方体中平面BEG与平面ACH的位置关系．并证明你的结论；
（2）若P是 CG的中点，求正方体中DP与HF所成角的余弦值．

Answer 1

分析 （1）由正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图得到正方体为正方体ABCD-EFGH，由AC∥EG，AH∥BG，得到平面BEG∥平面ACH；
（2）由HF∥BD，得∠PDB是正方体中DP与HF所成角（或所成角的补角），由此利用余弦定理能求出正方体中DP与HF所成角的余弦值．

解答 解：（1）平面BEG∥平面ACH．
证明如下：
由正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图得到正方体为正方体ABCD-EFGH，
∵AC∥EG，AH∥BG，AC∩AH=A，EG∩BG=G，
AC、AH?平面ACH，EG、BG?平面BEG，
∴平面BEG∥平面ACH．
（2）∵HF∥BD，∴∠PDB是正方体中DP与HF所成角（或所成角的补角），
连结PB，设正方形的棱长为2，
则BD=2$\sqrt{2}$，PB=PD=$\sqrt{4+1}$=$\sqrt{5}$，
∴cos∠PDB=$\frac{D{P}^{2}+B{D}^{2}-P{B}^{2}}{2DP•DB}$=$\frac{5+8-5}{2•\sqrt{5}•\sqrt{8}}$=$\frac{\sqrt{10}}{5}$．
∴正方体中DP与HF所成角的余弦值为$\frac{\sqrt{10}}{5}$．

点评 本题考查面面位置关系的判断，考查正方体中异面直线所成角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意余弦定理的合理运用．