Question

7．在底面为正方形的四棱锥S-ABCD中，AD⊥平面ABCD，E、F是AS、BC的中点，
（Ⅰ）求证：BE∥平面SDF；
（Ⅱ）若AB=5，求点E到平面SDF的距离．

Answer 1

分析 （Ⅰ）取SD的中点Q，连接QF、QE，证明BFQE为平行四边形，可得BE∥QF，即可证明：BE∥平面SDF；
（Ⅱ）若AB=5，利用等体积方法求点E到平面SDF的距离．

解答 证明：（Ⅰ）取SD的中点Q，连接QF、QE，
由于点E为侧棱AS的中点，Q为SD的中点
故在△DAS中，QE$\underline{\underline{∥}}\frac{1}{2}AD$，
由于F是BC的中点
故BF$\underline{\underline{∥}}\frac{1}{2}AD$，
故QE$\underline{\underline{∥}}BF$
故BFQE为平行四边形
故BE∥QF，又QF?平面EFD₁，BE?平面EFD₁
故BE∥平面SDF；
解：（Ⅱ）由DS⊥面ABCD，
又AB?面ABCE，故DS⊥AB
又AB⊥AD，故AB⊥面ADS，又BC∥面ADS
故F到面ADS的距离为AB的长，即为5．
设点E到平面SDF的距离为h．
又V_F-SED=V_E-SDF故$\frac{5}{3}•{\frac{5}{4}^2}=\frac{1}{3}h•{\frac{{\sqrt{5}×5}}{4}^2}$
$h=\sqrt{5}$

点评 本题考查线面平行的判定，考查等体积方法求点到平面的距离，考查学生的计算能力，属于中档题．