Question

4．ABCDEF是边长为4的正六边形，PA⊥面ABCDEF，PA=2，则P到BC的距离为4，P到CD的距离为2$\sqrt{13}$．

Answer 1

分析 求出A到BC的距离，可得P到BC的距离；由已知中P是边长为a的正六边形ABCDEF所成平面外一点，PA⊥AB，PA⊥AF，PA=a．我们易得PA⊥平面ABCDEF，解直角三角形PAC，PAD后，可由勾股定理判断出PC⊥CD，即可得到答案．

解答 解：由题意，A到BC的距离为2$\sqrt{3}$，PA=2，∴P到BC的距离为$\sqrt{12+4}$=4．
连接AC，AD，PD，如下图所示：

∵正六边形ABCDEF的边长为4，则AC=4$\sqrt{3}$，AD=8，CD=4
又∵PA⊥AB，PA⊥AF，
∴PA⊥平面ABCDEF，
∴PA⊥AC，PA⊥AD
∵PA=2，∴PC=2$\sqrt{13}$，PD=2$\sqrt{17}$，
在△PCD中，∵PC²+CD²=PD²，
故PC⊥CD
故PC长即为P点到CD的距离=2$\sqrt{13}$
故答案为：4，2$\sqrt{13}$．

点评 本题考查的知识点是空间点到线之间的距离，其中证明PC⊥CD，进而将点到直线的距离，转化为求线段长问题，是解答本题的关键．