Question

10．已知点P是二面角α-AB-β两个半平面外一点，且满足PC⊥α，PD⊥β，C、D是垂足．
（Ⅰ）试判断直线AB线与直线CD的位置关系．并证明你的结论；
（Ⅱ）若二面角α-AB-β的大小为θ（0＜θ＜π），求∠CPD的大小．

Answer 1

分析 （Ⅰ）在平面α内过C作CO⊥AB，交AB于O，连结PO，DO，则PO⊥AB，DO⊥AB，由此能推导出直线AB线与直线CD异面垂直．
（Ⅱ）由∠COD是二面角α-AB-β的平面角，平面PDCO是平面图形，能求出∠CPD的大小．

解答 解：（Ⅰ）直线AB线与直线CD异面垂直．
证明如下：
如图，在平面α内过C作CO⊥AB，交AB于O，连结PO，DO，
∵点P是二面角α-AB-β两个半平面外一点，
且满足PC⊥α，PD⊥β，C、D是垂足，
∴PO⊥AB，DO⊥AB，
∴四边形PDOC是平面图形，且AB⊥平面PDOC，
∵CD?平面BDOC，∴AB⊥CD，
∵AB∩平面BDOC=O，且O∉CD，
∴AB与CD是异面直线，
∴直线AB线与直线CD异面垂直．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知CO⊥AB，DO⊥AB，
∴∠COD是二面角α-AB-β的平面角，∴∠COD=α，
∵平面PDCO是平面图形，PC⊥CO，PD⊥DO，
∴∠CPD=π-α．

点评 本题考查两条直线位置关系的判断，考查角的大小的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．