Question

19．已知{a_n}是各项均为正数的等比数列，且a₁+a₂=6，a₁a₂=a₃．
（1）求数列{a_n}通项公式；
（2）{b_n} 为各项非零的等差数列，其前n项和为S_n，已知S_2n+1=b_nb_n+1，求数列$\left\{\frac{{b}_{n}}{{a}_{n}}\right\}$的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）通过首项和公比，联立a₁+a₂=6、a₁a₂=a₃，可求出a₁=q=2，进而利用等比数列的通项公式可得结论；
（2）利用等差数列的性质可知S_2n+1=（2n+1）b_n+1，结合S_2n+1=b_nb_n+1可知b_n=2n+1，进而可知$\frac{{b}_{n}}{{a}_{n}}$=$\frac{2n+1}{{2}^{n}}$，利用错位相减法计算即得结论．

解答 解：（1）记正项等比数列{a_n}的公比为q，
因为a₁+a₂=6，a₁a₂=a₃，
所以（1+q）a₁=6，q${{a}_{1}}^{2}$=q²a₁，
解得：a₁=q=2，
所以a_n=2ⁿ；
（2）因为{b_n} 为各项非零的等差数列，
所以S_2n+1=（2n+1）b_n+1，
又因为S_2n+1=b_nb_n+1，
所以b_n=2n+1，$\frac{{b}_{n}}{{a}_{n}}$=$\frac{2n+1}{{2}^{n}}$，
所以T_n=3•$\frac{1}{2}$+5•$\frac{1}{{2}^{2}}$+…+（2n+1）•$\frac{1}{{2}^{n}}$，
$\frac{1}{2}$T_n=3•$\frac{1}{{2}^{2}}$+5•$\frac{1}{{2}^{3}}$+…+（2n-1）•$\frac{1}{{2}^{n}}$+（2n+1）•$\frac{1}{{2}^{n+1}}$，
两式相减得：$\frac{1}{2}$T_n=3•$\frac{1}{2}$+2（$\frac{1}{{2}^{2}}$+$\frac{1}{{2}^{3}}$+…+$\frac{1}{{2}^{n}}$）-（2n+1）•$\frac{1}{{2}^{n+1}}$，
即$\frac{1}{2}$T_n=3•$\frac{1}{2}$+（$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{{2}^{2}}$+$\frac{1}{{2}^{3}}$+…+$\frac{1}{{2}^{n-1}}$）-（2n+1）•$\frac{1}{{2}^{n+1}}$，
即T_n=3+1+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{{2}^{2}}$+$\frac{1}{{2}^{3}}$+…+$\frac{1}{{2}^{n-2}}$）-（2n+1）•$\frac{1}{{2}^{n}}$=3+$\frac{1-\frac{1}{{2}^{n-1}}}{1-\frac{1}{2}}$-（2n+1）•$\frac{1}{{2}^{n}}$
=5-$\frac{2n+5}{{2}^{n}}$．

点评 本题考查数列的通项及前n项和，考查等差数列的性质，考查错位相减法，注意解题方法的积累，属于中档题．