Question

已知f（x）=2x³+3ax²-12a²x+2a，a∈R．
（1）若f（x）在区间（0，1）内有零点且单调递减，求实数a的取值范围；
（2）若g（x）=f（x）+2x-x²的区间（0，1）内存在极小值，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的极值,利用导数研究函数的单调性

专题：综合题,导数的综合应用

分析：（1）求导数，分类讨论，利用f（x）在区间（0，1）内有零点且单调递减，求实数a的取值范围；
（2）△≤0时，g′（x）≥0成立，即g（x）在R上单调递增，不存在极值；△＞0时，

g′(0)≥0 g′(1)＞0 △＞0 0＜ 2(1-3a) 12 ＜1

或

g′(0)＜0 g′(1)＞0

，即可求实数a的取值范围．

解答： 解：（1）∵f（x）=2x³+3ax²-12a²x+2a，
∴f′（x）=6（x+2a）（x-a），
a＞0，当且仅当x∈（-2a，a），f′（x）＜0，从而f（x）在（-2a，a）上单调递减，则

f(0)＞0 f(a)＜0 -2a≤0 a≥1

，∴a≥1；
同理a＜0无解；
a=0时，f（x）=x³在（0，1）上无零点，
综上，a≥1；
（2）∵g（x）=f（x）+2x-x²，
∴g′（x）=6x²+2（3a-1）x+2-12a²，
△=4（27a-11）（3a+1）．
△≤0时，g′（x）≥0成立，即g（x）在R上单调递增，不存在极值；
△＞0时，

g′(0)≥0 g′(1)＞0 △＞0 0＜ 2(1-3a) 12 ＜1

或

g′(0)＜0 g′(1)＞0

，
解得-

1

2

＜a＜-

1

3

或

6

6

＜a＜1．

点评：本题考查导数知识的综合运用，考查函数的单调性与极值，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．