Question

在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AD=AA₁=1，截面ABC₁D₁为正方形．
（1）求长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的体积；  
（2）求证：A₁D⊥平面ABC₁D₁．

Answer 1

满分（14分）．
（1）解：在直角三角形AA₁D₁中，AA₁=1，A₁D₁=AD=1，
∴．
∵截面ABC₁D₁为正方形，
∴．
∴长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的体积V=．
（2）证法一：∵ABCD-A₁B₁C₁D₁为长方体，
∴AB⊥平面AA₁D₁D．
∵A₁D?平面AA₁D₁D，
∴AB⊥A₁D．
∵AD=AA₁，
∴四边形AA₁D₁D为正方形．
∴AD₁⊥A₁D．

∵AB∩AD₁=A，AB?平面ABC₁D₁，AD₁?平面ABC₁D₁，
∴A₁D⊥平面ABC₁D₁．
证法二：∵ABCD-A₁B₁C₁D₁为长方体，
∴AB⊥平面AA₁D₁D．
∵AB?平面ABC₁D₁，
∴平面ABC₁D₁⊥平面AA₁D₁D．
∵AD=AA₁，
∴四边形AA₁D₁D为正方形．
∴AD₁⊥A₁D．
∵平面ABC₁D₁∩平面AA₁D₁D=AD₁，A₁D?平面AA₁D₁D，
∴A₁D⊥平面ABC₁D₁．

分析：（1）在直角三角形AA₁D₁中，求出AD₁，通过截面ABC₁D₁为正方形，求出AB，然后求解长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的体积V；  
（2）证法一：证明AB⊥A₁D，AD₁⊥A₁D，通过AB∩AD₁=A，AB?平面ABC₁D₁，AD₁?平面ABC₁D₁，证明A₁D⊥平面ABC₁D₁．
证法二：证明平面ABC₁D₁⊥平面AA₁D₁D，证明AD₁⊥A₁D，平面ABC₁D₁∩平面AA₁D₁D=AD₁，A₁D?平面AA₁D₁D，即可证明A₁D⊥平面ABC₁D₁．
点评：本小题主要考查空间线面位置关系，几何体体积等基本知识，考查空间想象能力和推理论证能力，注意判定定理的应用．