Question

（本题满分14分）已知圆：．

（Ⅰ）直线过点，且与圆交于、两点，若，求直线的方程；

（Ⅱ）过圆上一动点作平行于轴的直线，设与轴的交点为，若向量，求动点的轨迹方程，并说明此轨迹是什么曲线．

Answer 1

（Ⅰ）x=1，3x－4y+5=0,；

（Ⅱ）（y≠0）轨迹为长轴长为8，短轴长为4，焦距为4且焦点在y轴上的椭圆且去掉椭圆短轴的两个端点

【解析】

试题分析：（Ⅰ）由直线与圆位置关系得：半径，半弦长，圆心到直线距离构成勾股,即，因此d=1，又直线过点，故利用直线方程点斜式求解，注意先讨论斜率不存在情况：若⊥x轴，直线方程为x=1，A(1,－)，B（1，），，适合；若的斜率存在，设的方程为y=k(x－1)+2，圆心到直线的距离为d=1= 解得k=，直线方程为3x－4y+5=0,（Ⅱ）相关点法求轨迹方程：先找出所求的与已知动点之间关系，代入已知动点轨迹，化简即得所求动点轨迹方程：设M（，）（≠0）.则N（0，），Q（x，y），则 ，又，动点Q的轨迹方程为（y≠0）轨迹为长轴长为8，短轴长为4，焦距为4且焦点在y轴上的椭圆且去掉椭圆短轴的两个端点

试题解析：【解析】
（Ⅰ）若⊥x轴，直线方程为x=1，A(1,－)，B（1，），，适合---3分

若的斜率存在，设的方程为y=k(x－1)+2，圆心到直线的距离为d=，圆半径为2，故，k=，直线方程为3x－4y+5=0, ------7分

综上所求直线的方程为x=1，3x－4y+5=0,； -----8分

（Ⅱ）设M（，）（≠0）.则N（0，），Q（x，y），则 ----2分

又，动点Q的轨迹方程为（y≠0） -----5分

轨迹为长轴长为8，短轴长为4，焦距为4且焦点在y轴上的椭圆且去掉椭圆短轴的两个端点.----6分

考点：直线与圆位置关系，轨迹方程