Question

【题目】已知各项均不相等的等差数列{an}的前n项和为Sn，S10=45，且a3,a5,a9恰为等比数列{bn}的前三项，记 ．

(1)分别求数列{an}、{bn}的通项公式；

(2)若m=17，求cn取得最小值时n的值；

(3)当c1为数列{cn}的最小项时， 有相应的可取值，我们把所有am的和记为A1；…；当ci为数列的最小项时，有相应的可取值，我们把所有am的和记为Ai；…，令Tn= A1+ A2+…+An，求Tn.

Answer 1

【答案】（1），；（2）0；（3）

【解析】分析：（1）先利用等比中项和等差数列的通项公式、前项和公式得到关于首项和公差的方程组，进而得到等差数列的通项公式，再利用等比数列的前三项求出等比数列的通项公式；（2）化简，得到关于的二次函数，利用函数的单调性进行求解；（3）化简，得到关于的二次函数，利用换元思想，讨论二次函数的对称轴、单调性进行求解．

详解：(1)由，

∴an=n1，

∴b1=a3=2，b2=a5=4，b3=a9=8，易得bn=2n.

(2) 若 m=17，则 cn=(2n16)( 2n+116)=2(2n12)232，

当n=3或n=4，cn取得最小值0.

(3) cn=(bnam) (bn+1am) =22n+13(m1)2n +(m1)2，

令2n =tn，则cn=f(tn)=2tn 23(m1)tn+(m1)2，根据二次函数的图象和性质，当c1取得最小值时，t1在抛物线对称轴tn =的左、右侧都有可能，但t2≤t3≤t4≤…都在对称轴的右侧，必有

c2≤c3≤c4≤….而c1取得最小值，∴c1≤c2≤c3≤c4≤…，等价于c1≤c2.

由c1≤c2解得1≤m≤5，∴A1=a1+a2+…+a5=10，

同理，当ci(i==2,3, …)取得最小值时，只需

解得，

∴.

可得.