Question

5．为了探究某市高中理科生在高考志愿中报考“经济类”专业是否与性别有关，现从该市高三理科生中随机抽取50各学生进行调查，得到如下2×2列联表：（单位：人）．

	报考“经济类”	不报“经济类”	合计
男	6	24	30
女	14	6	20
合计	20	30	50

（Ⅰ）据此样本，能否有99%的把握认为理科生报考“经济类”专业与性别有关？
（Ⅱ）若以样本中各事件的频率作为概率估计全市总体考生的报考情况，现从该市的全体考生（人数众多）中随机抽取3人，设3人中报考“经济类”专业的人数为随机变量X，求随机变量X的概率分布及数学期望．
附：参考数据：

P（X2≥k）	0.05	0.010
k	3.841	6.635

（参考公式：X²=$\frac{n（{n}_{11}{n}_{22}-{n}_{12}{n}_{21}）^{2}}{{n}_{1+}{n}_{2+}{n}_{+1}{n}_{+2}}$）

Answer 1

分析 （I）计算K²，根据临界值表作出结论；
（II）分别计算X=0，1，2，3时的概率得出分布列，根据分布列得出数学期望和方差．

解答 解：（Ⅰ）${Χ^2}=\frac{{50×{{（36-336）}^2}}}{30×20×20×30}=\frac{{50×{{300}^2}}}{30×20×20×30}=\frac{25}{2}=12.5＞6.635$…（2分）
∴有99%的把握认为理科生愿意报考“经济类”专业与性别有关…（4分）
（Ⅱ）估计该市的全体考生中任一人报考“经济类”专业的概率为$p=\frac{20}{50}=\frac{2}{5}$…（6分）
X的可能取值为0，1，2，3，由题意，得X～B（3，$\frac{2}{5}$），$P（X=k）=C_3^k{（\frac{2}{5}）^k}{（\frac{3}{5}）^{3-k}}，（k=0，1，2，3）$
∴随机变量X的分布列为

X	0	1	2	3
P	$\frac{27}{125}$	$\frac{54}{125}$	$\frac{36}{125}$	$\frac{8}{125}$

…（10分）
∴随机变量X的数学期望$E（X）=\frac{6}{5}$…（12分）

点评 本题考查了独立性检验的应用，离散型随机变量的分布列、数学期望、方差的求法，是中档题．