Question

2．给定两个命题，命题p：对于任意实数x，都有ax²＞-2ax-4恒成立；命题q：方程x²+y²-2x+a=0表示一个圆．若“p∨q”为真命题，“p∧q”为假命题，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 分别求出p，q为真时的a的范围，根据若“p∨q”为真命题，“p∧q”为假命题，得到p，q一真一假，从而求出a的范围即可．

解答 解：若命题p为真，即对于任意实数x，都有ax²+2ax+4＞0恒成立，
a=0时，4＞0成立，
a≠0，只需$\left\{\begin{array}{l}{a＞0}\\{△={4a}^{2}-16a＜0}\end{array}\right.$，解得：0＜a＜4，
综上，若p真：a∈[0，4）；
若命题q：方程x²+y²-2x+a=0表示一个圆，
只需4-4a＞0，解得：a＜1，
故，q为真时，a∈（-∞，1）；
若“p∨q”为真命题，“p∧q”为假命题，
则p，q一真一假，
故a∈（-∞，0）∪[1，4）．

点评 本题考察了函数恒成立问题，考察圆的方程，考察复合命题的判断，是一道中档题．