Question

15．要做一个圆锥形漏斗，其母线长为15cm，要使其体积最大，则其高应为（　　）

• A． $10\sqrt{3}cm$
• B． $8\sqrt{3}cm$
• C． $6\sqrt{3}cm$
• D． $5\sqrt{3}cm$

Answer 1

分析 求出棱锥的体积关于高h的函数，判断函数的单调性求出极大值点即可．

解答 解：设圆锥漏斗的高为h，则底面半径r=$\sqrt{225-{h}^{2}}$，0＜h＜15，
∴漏斗的体积V=$\frac{1}{3}π{r}^{2}$h=$\frac{1}{3}π$（225-h²）h，
令f（h）=（225-h²）h=-h³+225h，
∴f′（h）=-3h²+225，令f′（h）=0得h=5$\sqrt{3}$，
∴当0＜h$＜5\sqrt{3}$时，f′（h）＞0，当5$\sqrt{3}$＜h＜15时，f′（h）＜0，
∴f（h）在（0，5$\sqrt{3}$）上单调递增，在（5$\sqrt{3}$，15）上单调递减，
∴当h=5$\sqrt{3}$时，f（h）取得最大值，即体积V取得最大值．
故选D．

点评 本题考查了圆锥的体积计算，函数单调性与极值计算，属于中档题．