Question

6．在平面直角坐标系xOy中，过椭圆$C：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞b＞0}）$右焦点F的直线x+y-2=0交C于A，B两点，P为AB的中点，且OP的斜率为$\frac{1}{3}$．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）设过点F的直线l（不与坐标轴垂直）与椭圆交于D，E两点，若在线段OF上存在点M（t，0），使得∠MDE=∠MED，求t的取值范围．

Answer 1

分析 （1）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），利用平方差法，结合$\frac{{{y_1}-{y_2}}}{{{x_1}-{x_2}}}=-1$，设P（x₀，y₀），推出a²=3b²，结合c=2然后求解椭圆C的方程．
（2）设线段DE的中点为H，说明MH⊥DE，设直线l的方程为y=k（x-2），代入椭圆C的方程为$\frac{x^2}{6}+\frac{y^2}{2}=1$，设D（x₃，y₃），E（x₄，y₄），利用韦达定理求出H的坐标，通过k_MH•k_l=-1，求解即可．

解答 解：（1）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则$\frac{x_1^2}{a^2}+\frac{y_1^2}{b^2}=1，\frac{x_2^2}{a^2}+\frac{y_2^2}{b^2}=1$，
相减得，$\frac{{（{{x_1}-{x_2}}）（{{x_1}+{x_2}}）}}{a^2}+\frac{{（{{y_1}-{y_2}}）（{{y_1}+{y_2}}）}}{b^2}=0$，由题意知$\frac{{{y_1}-{y_2}}}{{{x_1}-{x_2}}}=-1$，
设P（x₀，y₀），因为P为AB的中点，且OP的斜率为$\frac{1}{3}$，所以${y_0}=\frac{1}{3}{x_0}$，即${y_1}+{y_2}=\frac{1}{3}（{{x_1}+{x_2}}）$，
所以可以解得a²=3b²，即a²=3（a²-c²），即${a^2}=\frac{3}{2}{c^2}$，又因为c=2，∴a²=6，
所以椭圆C的方程为$\frac{x^2}{6}+\frac{y^2}{2}=1$．
（2）设线段DE的中点为H，因为∠MDE=∠MED，所以MH⊥DE，
设直线l的方程为y=k（x-2），代入椭圆C的方程为$\frac{x^2}{6}+\frac{y^2}{2}=1$，
得（3k²+1）x²-12k²x+12k²-6=0，
设D（x₃，y₃），E（x₄，y₄），则${x_3}+{x_4}=\frac{{12{k^2}}}{{1+3{k^2}}}$．
则${x}_{H}=\frac{{x}_{3}+{x}_{4}}{2}=\frac{6{k}^{2}}{1+3{k}^{2}}$，${y}_{H}=k（{x}_{H}-2）=-\frac{2k}{1+3{k}^{2}}$，即$H（{\frac{{6{k^2}}}{{1+3{k^2}}}，\frac{-2k}{{1+3{k^2}}}}）$，
由已知得k_MH•k_l=-1，∴$\frac{{\frac{-2k}{{1+3{k^2}}}}}{{\frac{{6{k^2}}}{{1+3{k^2}}}-t}}=-\frac{1}{k}$，整理得$t=\frac{{4{k^2}}}{{1+3{k^2}}}=\frac{4}{{3+\frac{1}{k^2}}}$，
因为k²＞0，所以$t∈（{0，\frac{4}{3}}）$，
所以t的取值范围是$（{0，\frac{4}{3}}）$．

点评 本题考查椭圆方程的求法，直线与椭圆的位置关系的应用，范围问题的解决方法，考查分析问题解决问题的能力．