Question

8．数列{a_n}满足a_n+1+（-1）ⁿa_n=2n-1，其前n项和为S_n，则
（1）a₁+a₃+a₅+…+a₉₉=50；
（2）S_4n=8n²+2n．

Answer 1

分析 （1）由已知数列递推式可得a_2n+1+a_2n-1=2．分别取n=1、3、5、…、49，可得a₁+a₃+a₅+…+a₉₉的值；
（2）由已知数列递推式结合（1）可得${a}_{n}=\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}，n=4k-3}\\{2n-3+{a}_{1}，n=4k-2}\\{2-{a}_{1}，n=4k-1}\\{2n-1-{a}_{1}，n=4k}\end{array}\right.$（k∈N^*）．设b_n=a_4n-3+a_4n-2+a_4n-1+a_4n=16n-6（n∈N^*），则{b_n}为首项为10，公差为16的等差数列．由此求得S_4n=b₁+b₂+…+b_n ．

解答 解：（1）∵a_n+1+（-1）ⁿa_n=2n-1，
∴a_2n+1+a_2n=4n-1，a_2n-a_2n-1=4n-3．
两式相减得a_2n+1+a_2n-1=2．
则a₃+a₁=2，a₇+a₅=2，…，a₉₉+a₉₇=2，
∴a₁+a₃+a₅+…+a₉₉=25×2=50；
（2）由（1）得，a₃=2-a₁，a_2n+3+a_2n+1=2，
∴a_2n+3=2-a_2n+1=2-（2-a_2n-1）=a_2n-1（n∈N^*）．
当n=2k（k∈N^*）时，a_4k+3=a_4k-1=…=a₃=2-a₁；
当n=2k-1（k∈N^*）时，a_4k+1=a_4k-3=…=a₁．
由已知可得a_4k-1+a_4k-2=8k-5，a_4k-a_4k-1=8k-3（k∈N^*）．
∴a_4k-2=8k-5-a_4k-1=8k-7+a₁，a_4k=8k-3+a_4k-1=8k-1-a₁．
∴${a}_{n}=\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}，n=4k-3}\\{2n-3+{a}_{1}，n=4k-2}\\{2-{a}_{1}，n=4k-1}\\{2n-1-{a}_{1}，n=4k}\end{array}\right.$（k∈N^*）．
设b_n=a_4n-3+a_4n-2+a_4n-1+a_4n=16n-6（n∈N^*），
则{b_n}为首项为10，公差为16的等差数列．
∴S_4n=b₁+b₂+…+b_n=$10n+\frac{16n（n-1）}{2}=8{n}^{2}+2n$．
故答案为：（1）50；（2）8n²+2n．

点评 本题考查数列递推式，考查了逻辑思维、推理论证以及计算能力，考查等差数列前n项和的求法，题目难度较大．