Question

16．已知A、B为双曲线E的左右顶点，点M在E上，△ABM为等腰三角形，且顶角为120°，则E的离心率为$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 由题意画出图形，过点M作MN⊥x轴，得到Rt△BNM，通过求解直角三角形得到M坐标，代入双曲线方程可得a与b的关系，结合a，b，c的关系和离心率公式，求得双曲线的离心率．

解答 解：设双曲线方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0），
如图所示，|AB|=|BM|，∠ABM=120°，
过点M作MN⊥x轴，垂足为N，则∠MBN=60°，
在Rt△BMN中，|BM|=|AB|=2a，∠MBN=60°，
即有|BN|=2acos60°=a，|MN|=2asin60°=$\sqrt{3}$a，
故点M的坐标为M（2a，$\sqrt{3}$a），
代入双曲线方程得$\frac{4{a}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{3{a}^{2}}{{b}^{2}}$=1，
即为a²=b²，即c²=2a²，
则e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{2}$．
故答案为：$\sqrt{2}$．

点评 本题考查双曲线的简单性质：离心率，注意运用点满足双曲线的方程，考查运算能力，是中档题．