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已知椭圆C1
x2
a2
+
y2
b2
=1
(a>b>0)与双曲线 C2:x2-
y2
4
=1
有公共的焦点,C2的一条渐近线与以C1的长轴为直径的圆相交于A,B两点,若C1恰好将线段AB三等分,则椭圆C1的离心率为 (  )
分析:根据双曲线方程,确定一条渐近线为y=2x,可得AB=2a且AB为题中圆的直径.由椭圆与双曲线有公共焦点,可得a2-b2=5.设C1与y=2x在第一象限的交点为A(m,2m),代入C1解出m2=
a2b2
b2+4a2
.再由对称性知直线y=2x被C1截得的弦长AB=2
5
m,根据C1恰好将线段AB三等分解出m=
a
3
5
,联解可得a2、b2、c2的值,结合离心率的公式加以计算,可得答案.
解答:解:由题意,C2的焦点为(±
5
,0),一条渐近线方程为y=2x,
根据对称性可知以C1的长轴为直径的圆交y=2x于A、B两点,满足AB为圆的直径且AB=2a
∵椭圆C1与双曲线C2有公共的焦点,
∴C1的半焦距c=
5
,可得a2-b2=5,…①
设C1与y=2x在第一象限的交点的坐标为A(m,2m),
代入C1的方程,解得m2=
a2b2
b2+4a2
,…②
由对称性可得直线y=2x被C1截得的弦长AB=2
5
m,
结合题意得2
5
m=
2a
3
,可得m=
a
3
5
,…③
由②③联解,得a2=11b2…④
再联解①④,可得a2=5.5,b2=0.5,得c2=a2-b2=5.
∴椭圆C1的离心率e满足e2=(
c
a
)2
=
c2
a2
=
10
11

故选:A
点评:本题给出双曲线与椭圆共焦点,在双曲线的渐近线与椭圆长轴为直径的圆相交所得的弦AB被椭圆三等分时,求椭圆的离心率的值.着重考查了椭圆、双曲线的标准方程与简单几何性质与直线与圆等知识,属于中档题.
练习册系列答案
相关习题

科目:高中数学 来源: 题型:

已知椭圆C1
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1、F2,其中F2也是抛物线C2:y2=4x的焦点,M是C1与C2在第一象限的交点,且|MF2|=
5
3

(1)求椭圆C1的方程;
(2)已知菱形ABCD的顶点A,C在椭圆C1上,对角线BD所在的直线的斜率为1.
①当直线BD过点(0,
1
7
)时,求直线AC的方程;
②当∠ABC=60°时,求菱形ABCD面积的最大值.

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精英家教网已知椭圆C1
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的一条准线方程是x=
25
4
,其左、右顶点分别是A、B;双曲线C2
x2
a2
-
y2
b2
=1
的一条渐近线方程为3x-5y=0.
(1)求椭圆C1的方程及双曲线C2的离心率;
(2)在第一象限内取双曲线C2上一点P,连接AP交椭圆C1于点M,连接PB并延长交椭圆C1于点N,若
AM
=
MP
.求
MN
AB
的值.

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已知椭圆C1
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的离心率为
2
2
,直线l:y=x+2
2
与以原点为圆心、以椭圆C1的短半轴长为半径的圆相切.
(Ⅰ)求椭圆C1的方程.
(Ⅱ)设椭圆C1的左焦点为F1,右焦点为F2,直线l1过点F1,且垂直于椭圆的长轴,动直线l2垂直l1于点P,线段PF2的垂直平分线交l2于点M,求点M的轨迹C2的方程;
(Ⅲ)若AC、BD为椭圆C1的两条相互垂直的弦,垂足为右焦点F2,求四边形ABCD的面积的最小值.

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已知椭圆C1
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)与双曲线C2:x2-
y2
4
=1有公共的焦点,C2的一条渐近线与以C1的长轴为直径的圆相交于A,B两点,若C1恰好将线段AB三等分,则b2=
0.5
0.5

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(2013•汕头一模)已知椭圆C1
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的左、右焦点分别为F1、F2,右顶点为A,离心率e=
1
2

(1)设抛物线C2:y2=4x的准线与x轴交于F1,求椭圆的方程;
(2)设已知双曲线C3以椭圆C1的焦点为顶点,顶点为焦点,b是双曲线C3在第一象限上任意-点,问是否存在常数λ(λ>0),使∠BAF1=λ∠BF1A恒成立?若存在,求出λ的值;若不存在,请说明理由.

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