Question

为使关于x的不等式|x-1|+|x-2|≤a²+a+1（a∈R）的解集在R上为空集，则a的取值范围是（　　）

• A、（0，1）
• B、（-1，0）
• C、（1，2）
• D、（-∞，-1）

Answer 1

考点：绝对值不等式的解法

专题：不等式的解法及应用

分析：依题意，|x-1|+|x-2|≤a²+a+1的解集在R上为空集?|x-1|+|x-2|＞a²+a+1（a∈R）恒成立?a²+a+1＜||x-1|+|x-2||_min，利用绝对值三角不等式的几何意义易求||x-1|+|x-2||_min=1，从而解不等式a²+a+1＜1即可．

解答： 解：不等式|x-1|+|x-2|≤a²+a+1（a∈R）的解集在R上为空集?|x-1|+|x-2|＞a²+a+1（a∈R）恒成立?a²+a+1＜||x-1|+|x-2||_min；
因为|x-1|+|x-2|≥|（x-1）-（x-2）|=1，
所以||x-1|+|x-2||_min=1，
所以a²+a+1＜1，
解得：-1＜a＜0．
所以a的取值范围是（-1，0），
故选：B．

点评：本题考查绝对值不等式的解法，考查等价转化思想与恒成立问题，考查绝对值三角不等式的几何意义，属于中档题．